Dans cet article, nous allons voir comment vérifier la 3ème loi de Kepler avec les satellites de Jupiter. Pour cela nous allons utiliser plusieurs méthodes.

page avec simulation de la position des satellites de Jupiter

La 3ème loi de Kepler s'applique aux objets célestes orbitant autour d'un autre objet céleste plus massif : T^2 / a^3 = Constante

Avec T : période de révolution de l'objet (temps nécessaire pour une révolution complète)

a : demi grand axe de l'objet (moitié du grand diamètre de l'ellipse que forme la trajectoire de l'objet)

Constante : valeur qui ne varie pas quelque soit le satellite.

Jupiter possède 4 satellites, dans l'ordre de proximité : Io, Europe, Ganymède et Callisto.

Première méthode :

Afin de connaitre leur période de révolution et leur demi grand axe, nous allons utiliser une série de données capturées sur plusieurs jours et la taper dans le logiciel Régressi. Les valeurs sont récoltées sur environ 10 jours.

Ici avec les valeurs d'Io :

Grâce au graphe, nous pouvons calculer le demi grand axe. a = 0,44 * 10^6 = 440 000 km

Ensuite, toujours avec le graphe, on regarde le nombre de jours nécessaires pour faire un tour complet. Pour Io, T = 1,75 jours.

En utilisant la 3ème loi de Kepler : (1,75)^2 / (440 000)^3 = 3,60 x 10^-17

Il ne reste plus qu'à faire pareil avec les trois autres satellites :

Europe :

a = 700 000 km   T = 3,54 jours

T^2 / a^3 = 3,65 x 10^-17

Ganymède :

a = 1 100 000 km   T = 7,08 jours

T^2 / a^3 = 3,77 x 10^-17

Callisto :

a = 2 000 000 km   T = 17,48 kours

T^2 / a^3 = 3,82 x 10^-17

On peut voir que ces valeurs sont similaires mais pas exactement les mêmes. Cet écart peut être dû à l'imprécision de la lecture graphique. On peut conclure que la 3 ème loi de Kepler est vérifiée.

Deuxième méthode :

Cette méthode nous permet de calculer la masse de Jupiter.

Avec Regressi, on peut utiliser les données prises au départ pour modéliser une droite qui donnera des valeurs plus précises pour T et a. On fait une modélisation linéaire et cela nous donne une valeur précise de la constante.

Voici la modélisation obtenue :

On peut voir que la modélisation passe par les quatre points qui représentent les satellites. On obtient ainsi une valeur plus précise de la constante : 2,85 x 10^-16. Ici nous utilisons les unités du système international donc T est en seconde, ce qui explique la différence avec la valeur calculée précédement.

Maintenant que nous savons la valeur de la constante, nous pouvons utiliser cette relation :

Constante (T^2 / a^3) = 4π^2 / (G x Mj)

avec G : constante de gravitation universelle et Mj : masse de Jupiter

En changeant de place les termes, on obtient l'égalité suivante pour la masse de Jupiter:

Mj = 4π^2 / (Constante x G)

Mj = 4π^2 / (2,85 x 10^-16 x 6,674 x 10^-11)

Mj = 2,075 x 10^27 kg

La vraie valeur est : 1,898 x 10^27 kg. On peut voir que notre valeur est assez proche de la valeur réelle.