Dans cet article nous allons déterminer comment faire atterrir doucement  un rover sur Mars.

La vitesse initiale V0 lorsque le rover entame sa descente est 12000 km/h.

La masse de la capsule entière est 1200 kg.

Pour faire atterrir la capsule, il faut la ralentir car la vitesse initiale est beaucoup trop grande. Pour ralentir la capsule, nous avons plusieurs solutions :

- La traînée : la force qu'exerce l'atmosphère sur la capsule (le frottement de l'air)

- Le parachute : il démultiplie la force de traînée et peut être utilisé sur une longue période

- Les rétrofusées : elles produisent ue grande force mais sur une courte période

Pour faire nos calculs nous allons émettre deux hypothèses :

1) La trajectoire est rectiligne et perpendiculaire au sol de Mars

2) L'atmosphère est homogène

Ces hypothèses ne sont pas représentatives de la réalité.

Le but est de calculer la vitesse à laquelle le rover touche le sol et de trouver un moyen de le faire atterrir lentement.

Première partie : Force de traînée proportionnelle à la vitesse

Dans cette partie nous allons considérer que la capsule n'est soumise qu'à son poids (P= m * g) et à la force de traînée. Pour l'instant on va considérer que l'expression de la force est Ft = -α * V avec V la vitesse et α un coefficient qui dépend de plusieurs facteurs. On prend α = 1.

D'après la 2ème loi de Newton : 

Donc  

Il s'agit d'une équation différentielle de la forme

Les solutions sont de la forme :

Nous allons résoudre l'équation à t = 0 :

Ainsi l'expression de V(t) est : 

Nous pouvons maintenant résoudre l'équation à  t = 420s (temps de l'atterrissage) :

= 3664 m/s = 13190 km/h

Cette vitesse est beaucoup trop grande, le rover va se crasher.

Deuxième partie : Force de traînée proportionnelle au carré de la vitesse

Dans cette partie nous allons considérer que la force de traînée a pour expression Ft = -α * V^2. α est toujours égal à 1. En suivant les mêmes étapes que la première partie :

Il s'agit d'une équation de la forme . On ne sait pas résoudre cette équation.

On sait que la solution de cette équation est  

Or pour résoudre cette équation nous allons devoir faire une approximation : on va dire que . Ainsi  

Nous pouvons maintenant résoudre l'équation :

On sait que    donc  

On réarrange les termes : 

On reconnait une équation du second degrès de la forme  

On calcule discriminant : 

On trouve donc une solution à l'équation (on ne compte pas la deuxième solution car elle est négative alors que la vitesse ne peut pas être négative) : 

Cette solution nous permet de calculer la vitesse à t(1) à partir de V(0), puis la vitese à t(2) à partir de V(1), etc... Pour ne pas avoir à calculer chaque vitesse on peut créer un programme qui tout les calculs afin de calculer la valeur de la vitesse au moment ou le rover touche le sol.

Malheureusement, même si la vitesse est plus faible que celle trouvée précédement, elle reste trop élevée pour poser le rover en sécurité. Pour palier à ce problème, il va falloir utiliser des moyens de freinage comme le parachute ou les rétro-fusées.